Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 4-5 с решениями

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника:

а) через 3 шага с точностью до 0,3;

б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

Точки<i> A' </i>,<i> B' </i>и<i> C' </i>"– середины сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>соответственно, а<i> BH </i>"– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников<i> AHC' </i>и<i> CHA' </i>окружности проходят через точку<i> M </i>, отличную от<i> H </i>, то<i> <img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> ABM=<img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> CBB' </i>.