Олимпиадные задачи из источника «2000 год» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> медиана <i>BM</i> равна стороне <i>AC</i>. На продолжениях сторон <i>BA</i> и <i>AC</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> выбраны соответственно точки <i>D</i> и <i>E</i>, причём

<i>AD = AB</i>  и  <i>CE = CM</i>.  Докажите, что прямые <i> DM </i> и <i> BE </i> перпендикулярны.

Наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i> равен 1. Каково наибольшее возможное значение  НОД(<i>m</i> + 2000<i>n</i>, <i>n</i> + 2000<i>m</i>)?

Решите уравнение  (<i>x</i> + 1)⁶³ + (<i>x</i> + 1)⁶²(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)⁶¹(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)⁶³ = 0.

Длины оснований трапеции равны <i>m</i> см и <i>n</i> см (<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m ≠ n</i>).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?