Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 3-9 класса - сложность 2 с решениями

Две окружности пересекаются в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Третья окружность с центром в точке<i> P </i>пересекает первую в точках<i> A </i>и<i> B </i>, а вторую – в точках<i> C </i>и<i> D </i>(см.рисунок). Докажите что углы<i> AQD </i>и<i> BQC </i>равны.

Найдите все такие пары натуральных чисел <i>x, y</i>, что числа  <i>x</i>³ + <i>y</i>  и  <i>y</i>³ + <i>x</i>  делятся на  <i>x</i>² + <i>y</i>².

Про действительные числа <i>a, b, c</i> известно, что  (<i>a + b + c</i>)<i>c</i> < 0.  Докажите, что  <i>b</i>² – 4<i>ac</i> > 0.