Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Точка <i>M</i> лежит на прямой <i>AB</i>, причём  ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.

Докажите, что точка <i>M</i> равноудалена от точек <i>C</i> и <i>D</i>.

Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат? Комментарий. Во фразе "все квадраты одинаковы" имеется в виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.

За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые каждого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что каждые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

Некоторые из чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₂₀₀написаны синим карандашом, а остальные — красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₀содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

Найдутся ли натуральные числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие условию  28<i>x</i> + 30<i>y</i> + 31<i>z</i> = 365?