Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 7-9 класса

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат. б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого <i>n</i>-угольника получается правильный <i>n</i>-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

В круговом турнире не было ничьих, за победу присуждалось 1 очко, за поражение – 0. Затем был определен <i>коэффициент</i> каждого участника. Он равнялся сумме очков, набранных теми, кого победил данный спортсмен. Оказалось, что у всех участников коэффициенты равны. Число участников турнира больше двух. Докажите, что все спортсмены набрали одинаковое количество очков.

Даны такие действительные числа  <i>a</i>₁ ≤ <i>a</i>₂ ≤ <i>a</i>₃  и  <i>b</i>₁ ≤ <i>b</i>₂ ≤ <i>b</i>₃,  что <div align="CENTER"><i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃ = <i>b</i>₁ + <i>b</i>₂ + <i>b</i>₃,   <i>a</i>₁<i>a</i>₂ + <i>a</i>₂<i>a</i><s...

Докажите, что среди четырехугольников с заданными длинами диагоналей и углом между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.