Олимпиадные задачи из источника «1993 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Даны <i>n</i> точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

Известно, что<i>tg</i> $\alpha$+<i>tg</i> $\beta$=<i>p</i>,<i>ctg</i> $\alpha$+<i>ctg</i> $\beta$=<i>q</i>. Найти <i>tg</i> ($\alpha$+$\beta$).

При разложении чисел <i>A</i> и <i>B</i> в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа  <i>A + B</i>?