Задача
Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные — в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прыгает кузнечик, по белым — блоха, причём каждый прыжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Докажите, что кузнечик и блоха могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трёх прыжков.
Решение
Докажем сначала, что если кузнечик и блоха сидят на одной линии (вертикали или горизонтали), то они могут оказаться рядом, сделав в общей сложности не более двух прыжков. Действительно, на этой линии есть клетки обоих цветов, а значит, есть соседние клетки, одна из которых покрашена в красный цвет, а другая в белый. Следовательно, кузнечик может прыгнуть в одну из них, а блоха — в другую. Итак, если кузнечик и блоха сидят на одной линии, то они могут оказаться рядом, сделав в сумме не более двух прыжков.
Докажем теперь, что кузнечик и блоха могут за один прыжок оказаться на одной линии. Для этого проведём вертикаль, на которой сидит кузнечик, и горизонталь, на которой сидит блоха. Так как клетка их пересечения покрашена в один из цветов, то либо кузнечик, либо блоха могут прыгнуть в эту клетку. После этого прыжка они окажутся на одной линии.
Итак, где бы ни сидели кузнечик и блоха, они могут за один прыжок оказаться на одной линии, а потом не более чем за два прыжка оказаться рядом, т. е. они могут оказаться рядом не более чем за три прыжка.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь