Олимпиадные задачи из источника «1987 год» для 11 класса
Углы, образованные сторонами правильного треугольника с некоторой плоскостью, равны α, β и γ. Доказать, что одно из чисел sin α, sin β, sin γ равно сумме двух других.
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа <i>x</i> и <i>y</i>, что 0 ≤ <img width="38" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79520/problem_79520_img_2.gif"> ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?
Доказать, что для любых чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>1987</sub> и положительных чисел <i>b</i><sub>1</sub>,..., <i>b</i><sub>1987</sub> справедливо неравенство <div align="CENTER"><img width="135" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79518/problem_79518_img_2.gif"> ≤ <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79518/problem_79518_img_3.gif"> + ... + <img width="43" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79518...