Олимпиадные задачи из источника «1979 год» - сложность 4 с решениями
Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых больше${\frac{1}{9}}$. (Сравни с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178201">178201</a>.)
Функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что<i>f</i> (0) = <i>f</i> (1) = 0 и что |<i>f''</i>(<i>x</i>)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции<i>f</i>для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?
На химической конференции присутствовало<i>k</i>учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: "Кем является такой-то: химиком или алхимиком?" (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за 2<i>k</i>− 3 вопросов.
а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и <i>a<sub>n</sub> ≤ n</i><sup>10</sup> при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если <i>a<sub>n</sub> ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif"> при любом <i>n</i>.