Олимпиадные задачи из источника «1978 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Дано 8 действительных чисел: <i>a, b, c, d, e, f, g, h</i>. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  <i>ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh</i>  неотрицательно.

У белой сферы 12% её площади окрашено в красный цвет. Доказать, что в сферу можно вписать параллелепипед, у которого все вершины белые.

На плоскости расположено несколько прямых и точек. Доказать, что на плоскости найдётся точка<i>A</i>, не совпадающая ни с одной из данных точек, расстояние от которой до любой из данных точек больше расстояния от неё до любой из данных прямых.