Олимпиадные задачи из источника «1976 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Каковы первые четыре цифры числа 1<sup>1</sup> + 2² + 3³ + ... + 999<sup>999</sup> + 1000<sup>1000</sup>?
В остроугольном треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>AM</i>, биссектриса<i>BK</i>и высота<i>CH</i>. Пусть<i>M'K'H'</i>— треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника<i>ABC</i>?
Найти все положительные решения системы уравнений
<img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79311/problem_79311_img_2.gif"><img width="137" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79311/problem_79311_img_3.gif">