Олимпиадные задачи из источника «1975 год» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями
Какое из двух чисел больше: а) <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_2.gif"> (<i>n</i> двоек) или <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> − 1 тройка); б) <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> троек) или <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_4.gif"> (<i>n</i> − 1 четвёрка).
В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны120<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.
Какое из двух чисел больше: а) <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_2.gif"> (100 двоек) или <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_3.gif"> (99 троек); б) <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_3.gif"> (100 троек) или <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_4.gif"> (99 четвёрок).
На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?
Натуральные числа <i>a, b, c</i> таковы, что числа <i>p = b<sup>c</sup> + a, q = a<sup>b</sup> + c, r = c<sup>a</sup> + b</i> простые. Доказать, что два из чисел <i>p, q, r</i> равны между собой.
Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными: <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).