Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 2-9 класса - сложность 1-3 с решениями

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

  Рассматриваются решения уравнения  ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> = ¹/_<i>p</i>  (<i>p</i> > 1),  где <i>x, y</i> и <i>p</i> – натуральные числа. Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если <i>p</i> – составное, то решений больше трёх  ((<i>a, b</i>)  и  (<i>b, a</i>) – различные решения, если  <i>a ≠ b</i>).

Пусть на плоскости есть пять точек общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что среди этих точек есть две такие, что они лежат по разные стороны от окружности, проходящей через оставшиеся три точки.

Может ли число, состоящее из шестисот шестёрок и некоторого количества нулей, быть квадратом целого числа?