Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

Существуют ли рациональные числа<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, удовлетворяющие равенству <div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)²ⁿ + (<i>c</i> + <i>d</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)²ⁿ = 5 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$ </div>(где<i>n</i>— натуральное число)?

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>

На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы Г'' . Концы коротких палочек у букв Г'' обозначим через<i>A</i>и<i>A'</i>. Длинные палочки разделены на<i>n</i>равных частей точками<i>a</i>₁, ...,<i>a</i>_{n - 1};<i>a'</i>₁, ...,<i>a'</i>_{n - 1}(точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые<i>Aa</i>₁,<i>Aa</i>₂, ...,<i>Aa</i>_{n - 1};<i>A'a</i>^{$\scriptstyle \prime$}₁,<i>A'a&...