Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Даны два набора чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i>. Расположим числа <i>a<sub>k</sub></i> в возрастающем порядке, а числа <i>b<sub>k</sub></i> – в убывающем порядке. Получатся наборы
<i>A</i><sub>1</sub> ≤ ... ≤ <i>A<sub>n</sub></i>, <i>B</i><sub>1</sub> ≥ ... ≥ <i>B<sub>n</sub></i>. Доказать, что max{<i>a</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub></i>} ≥ max{<...
Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве <i>p<sup>n</sup></i>, где <i>p</i> – простое число, <i>n</i> = 0, 1, 2, 3, ... (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?
Про последовательность<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>, ...,<i>x</i><sub>n</sub>, ... известно, что для любого<i>n</i>> 1 выполнено равенство3<i>x</i><sub>n</sub>-<i>x</i><sub>n - 1</sub>=<i>n</i>. Кроме того, известно, что|<i>x</i><sub>1</sub>| < 1971. Вычислить<i>x</i><sub>1971</sub>с точностью до 0, 000001.
Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub>, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3<i>n</i>отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i><sub>1</sub>, равны между собой. То же самое верно и для вершин<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>, ...,<i>A</i><sub>n - 1</sub>. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине<i>A</i><sub>n</sub>, также равны между собой.