Олимпиадные задачи из источника «1968 год» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

На поверхности кубика мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на чёрный стол (причём в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже даёт отпечаток.)

Рассматривается система уравнений:

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78686/problem_78686_img_2.gif">

Докажите, что при некоторых <i>k</i> такая система имеет решение.

В таблице <i>A</i> размером 10×10 написаны какие-то числа. Обозначим сумму всех чисел в первой строке через <i>s</i>₁, во второй – через <i>s</i>₂ и т.д. Аналогично сумму чисел в первом столбце обозначим через <i>t</i>₁, во втором – <i>t</i>₂ и т.д. Составлена новая таблица <i>B</i> размером 10×10, в неё вписаны числа следующим образом: в первой клетке первой строки пишется наименьшее из чисел <i>s</i>₁ и <i>t</i>₁, в третьей клетке пятой строки пишется наименьшее из чисел <i>s</i>₅ и <i>t</i><sub>3</sub&...

Дано натуральное число <i>N</i>. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом <i>N</i>₁ проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из <i>N</i> можно получить однозначное число.

На плоскости нарисован правильный многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>A</i>₅. Можно ли выбрать в плоскости множество точек, обладающее следующим свойством: через любую точку, не лежащую внутри пятиугольника, можно провести отрезок, концы которого являются точками нашего множества, а через точки, лежащие внутри пятиугольника, такого отрезка провести нельзя. <b>Примечание.</b>

1. Отрезок проходит через любую свою точку, в частности, через свой конец.

2. "Внутри" — значит строго внутри.

Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.

В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые,<i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость<i>P</i>так, чтобы точки<i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>A</i>₃,<i>A</i>₄пересечения этих прямых с<i>P</i>образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?

По заданной последовательности положительных чисел  <i>q</i>₁,..., <i>q_n</i>, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:

    <i>f</i>₀(<i>x</i>) = 1,

    <i>f</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>,

      ...

    <i>f</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = (1 + <i>q_n</i>)<i>xf_n</i>(<i>x</i>) – <i>q_nf</i>_<i>n</i>–1(<i>x</i>).

Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...

Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число <i>m</i> получается из числа <i>n</i> вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и <i>m</i>, и <i>n</i> принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?

Можно ли выбрать 100 000 номеров телефонов из 6 цифр каждый так, чтобы при одновременном вычеркивании из всех этих номеров<i>k</i>-той цифры(<i>k</i>= 1, 2,...6) получились все пятизначные номера от 00000 до 99999?

Можно ли расположить на плоскости 1968 отрезков так, чтобы каждый из них обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Существует ли четырёхугольник<i>ABCD</i>площади 1 такой, что для любой точки<i>O</i>внутри него площадь хотя бы одного из треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCD</i>,<i>DOA</i>иррациональна.