Будем искать плоскости $\alpha$, для которых четырёхугольник A₁A₂A₃A₄ — параллелограмм. Для этого необходимо и достаточно, чтобы середина отрезка A₁A₃совпадала с серединой отрезка A₂A₄. По определению середина отрезка A₁A₃лежит в серединной плоскости прямых l₁и l₃, а середина отрезка A₂A₄ — в серединной плоскости прямых l₂и l₄. По условию никакие три прямые не параллельны одной плоскости, а значит^ эти серединные плоскости не параллельны и не совпадают. Обозначив через lпрямую их пересечения, получим, что общая середина отрезков A₁A₃и A₂A₄есть точка пересечения плоскости $\alpha$с прямой l. Докажем, что для каждой точки L$\in$lнайдётся ровно одна плоскость $\alpha$, проходящая через точку L, для которой четырёхугольник A₁A₂A₃A₄ — параллелограмм. Это следует из того, что каждая точка серединной плоскости двух скрещивающихся прямых является серединой ровно одного отрезка с концами на этих прямых (таким образом, выбор отрезков A₁A₃и A₂A₄возможен и однозначен), а через две пересекающиеся прямые можно провести ровно одну плоскость.

Таким образом, для каждого выбора того, какие вершины в параллелограмме, образованном A_i,i= 1,..., 4, противоположны, все искомые плоскости параметризуются точками прямой пересечения серединных плоскостей пар прямых, соответствующих противоположным вершинам.

3