Олимпиадные задачи из источника «1967 год» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

Число <i>Y</i> получается из натурального числа <i>X</i> некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  <i>X + Y</i> = 10²⁰⁰.  Доказать, что <i>X</i> делится на 50.

В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.

Доказать, что существует число<i>q</i>такое, что в десятичной записи числа<i>q</i>^.2¹⁰⁰⁰нет ни одного нуля.

Из первых <i>k</i> простых чисел  2, 3, 5, ..., <i>p_k</i>  (<i>k</i> > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·<i>p_k</i>, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через <i>S</i>. Доказать, что  <i>S</i> + 1  разлагается в произведение более 2<i>k</i> простых сомножителей.

Доказать, что уравнение  19<i>x</i>³ – 17<i>y</i>³ = 50  не имеет решений в целых числах.

В квадрате расположено<i>K</i>точек (<i>K</i>> 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Существуют ли два таких последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 125?

Найти наименьшую пару таких чисел или доказать, что их не существует.