Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Рассматриваются всевозможные<i>n</i>-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется<i>n</i>-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i> клеток и такие натуральные числа <i>k</i> и  <i>m > k</i>,  что <i>m</i> и  <i>n – k</i>  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  <i>a</i>₁, ..., <i>a_k, a</i>_<i>k</i>+1, ..., <i>a_m, a</i>_<i>m</i>+1, ..., <i>a_n</i>.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  <i>a</i>_<i>m</i>+1, ..., <i>a_n, a</i><sub><i&gt...

На каждой стороне треугольника<i>ABC</i>построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>— равнобедренный.