Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» - сложность 2-5 с решениями

Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.

В стране Иллирии некоторые пары городов связаны прямым воздушным сообщением. Докажите, что там есть два города, связанные с равным количеством других городов.

Дан треугольник<i>ABC</i>, в котором сторона<i>AB</i>больше<i>BC</i>. Проведены биссектрисы<i>AK</i>и<i>CM</i>(<i>K</i>лежит на<i>BC</i>,<i>M</i>лежит на<i>AB</i>). Доказать, что отрезок<i>AM</i>больше<i>MK</i>, а отрезок<i>MK</i>больше<i>KC</i>.

Шестизначное число делится на 37. Все его цифры различны. Доказать, что из тех же цифр можно составить и другое шестизначное число, кратное 37.