Олимпиадные задачи из источника «1964 год» для 10-11 класса - сложность 3-5 с решениями
При дворе короля Артура собрались 2<i>n</i>рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более <i>n</i>– 1 врага. Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.
Пирог имеет форму правильного <i>n</i>-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.
В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>BC</i> равна полусумме двух других сторон. Через точку <i>A</i> и середины <i>B', C'</i> сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа <i>n</i> существуют ровно <i>n</i> карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.
Дан треугольник<i>ABC</i>, причём сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина<i>A</i>, середины сторон<i>AB</i>и<i>AC</i>и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78539">задачей 4 для 9 класса</a>).
Дана система из<i>n</i>точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.
В <i>n</i> мензурок налиты <i>n</i> разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)
На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.
В треугольнике<i>ABC</i>сторона<i>BC</i>равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла<i>A</i>перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
В<i>n</i>стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких<i>n</i>можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?
На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?