Олимпиадные задачи из источника «1963 год» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.

Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.

Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Положительные числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>обладают тем свойством, что<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> + <i>arctg</i> <i>z</i> < $\displaystyle \pi$. </div>Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листе клетчатой бумаги размером<i>m</i>×<i>n</i>клеток?