Задача
Положительные числаx,y,zобладают тем свойством, что
arctg x + arctg y + arctg z < $\displaystyle \pi$.
Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.
Решение
Пусть$\varphi_{1}^{}$=arctg x,$\varphi_{2}^{}$=arctg y,$\varphi_{3}^{}$=arctg z, тогда$\varphi_{1}^{}$+$\varphi_{2}^{}$+$\varphi_{3}^{}$<$\pi$и, кроме того,0 <$\varphi_{1}^{}$,$\varphi_{2}^{}$,$\varphi_{3}^{}$<${\frac{\pi}{2}}$, поскольку 0 <x,y,z, а значит, иcos$\varphi_{1}^{}$, cos$\varphi_{2}^{}$, cos$\varphi_{3}^{}$> 0. Так же получаем, что
x + y + z - xyz = tg$\displaystyle \varphi_{1}^{}$ + tg$\displaystyle \varphi_{2}^{}$ + tg$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ - tg$\displaystyle \varphi_{1}^{}$tg$\displaystyle \varphi_{2}^{}$tg$\displaystyle \varphi_{3}^{}$.
Посколькуcos$\varphi_{1}^{}$, cos$\varphi_{2}^{}$, cos$\varphi_{3}^{}$> 0, обе части равенства можно
домножить на произведение косинусов. Получаем, что надо доказать, что
sin$\displaystyle \varphi_{1}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{2}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ + cos$\displaystyle \varphi_{1}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{2}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ + cos$\displaystyle \varphi_{1}^{}$cos$\displaystyle \varphi_{2}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ - sin$\displaystyle \varphi_{1}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{2}^{}$sin$\displaystyle \varphi_{3}^{}$ > 0.(*)
Левая часть равенства (*) равна
sin($\displaystyle \varphi_{1}^{}$+$\displaystyle \varphi_{2}^{}$+$\displaystyle \varphi_{3}^{}$).
В этом можно убедиться, дважды применив формулу синуса
суммы.
Поскольку
0 < $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ + $\varphi_{3}^{}$ < $\pi$, получаем, что
sin($\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ + $\varphi_{3}^{}$) > 0, тем самым доказано неравенство (*).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет