Пусть$\varkappa$ — какая-то первая'' из клеток, пересечённых нашим отрезком <i>l</i>. Так как на листке бумаги имеется<i>m</i>- 1 горизонтальных линий (края листка мы не считаем) и<i>n</i>- 1 вертикальных (или наоборот; листок мы считаем положенным перед собой, как обычно, что позволяет употреблять термины горизонтальный'' и вертикальный''), то отрезок <i>l</i>может пересечь не более чем(<i>m</i>- 1) + (<i>n</i>- 1) =<i>m</i>+<i>n</i>- 2 линий (ибо каждую вертикальную и каждую горизонтальную линию он пересекает не более одного раза), и, значит, максимум<i>m</i>+<i>n</i>- 2 раза может перейти из одной клетки в другую. Присоединяя сюда и начальную'' клетку$\varkappa$, мы заключим, чтоlможет пересечь не более чем m + n - 1 клеток. С другой стороны,m+n- 1клеток отрезок пересечь может: для этого необходимо (и достаточно), чтобы он пересекал листок ``по диагонали'', встречая на своем пути все горизонтальные и все вертикальные линии. Замечание.Еслиmиnне взаимно просты, то диагональ прямоугольного листка пройдёт через ряд узлов имеющейся на листке сети линий, пересекая в этих случаях горизонтальную и вертикальную линии одновременно, что уменьшит число пересеченных клеток; однако в этом случае мы можем сместить слегка конец отрезка l, оставляя его в той же угловой клетке$\varkappa$, что и раньше, с тем, чтобы сдвинутый отрезок l'по-прежнему пересекал все имеющиеся на листке линии, но ни разу не проходил через узел сети линий. Для этого, например, достаточно, чтобы отрезок l'начинался в точке, имеющей в системе координат, оси которой параллельны сторонам квадратов сетки, а единица длины равна стороне квадратов, рациональные координаты, а кончался в точке с иррациональными координатами (докажите это!).

(Решение из книги [#!gn!#].)

Ответ задачи отсутствует