Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
В окружность вписан неправильный <i>n</i>-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол α ≠ 2π совмещается сам с собой. Доказать, что <i>n</i> – число составное.
Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
У края биллиарда, имеющего форму правильного 2<i>n</i>-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.
Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,<i>a</i><sub>n</sub>=<i>a</i><sub>n - 1</sub>+<i>a</i><sub>n - 2</sub>,....
Даны два пересекающихся луча<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна.
<i>Конём</i> называется фигура, ход которой состоит в перемещении на <i>n</i> клеток по горизонтали и на 1 по вертикали (или наоборот). Конь стоит на некотором поле бесконечной шахматной доски. При каких <i>n</i> он может попасть на любое заданное поле?
Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>