Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 3-10 класса - сложность 2-4 с решениями

Две окружности<i>O</i>₁и<i>O</i>₂пересекаются в точках<i>M</i>и<i>P</i>. Обозначим через<i>MA</i>хорду окружности<i>O</i>₁, касающуюся окружности<i>O</i>₂в точке<i>M</i>, а через<i>MB</i>— хорду окружности<i>O</i>₂, касающуюся окружности<i>O</i>₁в точке<i>M</i>. На прямой<i>MP</i>отложен отрезок<i>PH</i>=<i>MP</i>. Доказать, что четырёхугольник<i>MAHB</i>можно вписать в окружность.

Из чисел<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x</i>₃,<i>x</i>₄,<i>x</i>₅можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀. Доказать, что зная числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x...

В окружность вписан неправильный <i>n</i>-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол  α ≠ 2π   совмещается сам с собой. Доказать, что <i>n</i> – число составное.

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₉₆₂, чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>₁₉₆₁ – <i>a</i>₁₉₆₂| + |<i>a</i>₁₉₆₂ – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.