Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» - сложность 2-4 с решениями

Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>правильного треугольника<i>ABC</i>найти такие точки<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми<i>CX</i>,<i>BZ</i>,<i>AY</i>, была вчетверо меньше площади треугольника<i>ABC</i>и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$

Даны<i>n</i>карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел1, 2,...,<i>n</i>, причём так, что каждое число встречается на всех<i>n</i>карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа:1, 2,...,<i>n</i>.

Сумму цифр числа <i>a</i> обозначим через <i>S</i>(<i>a</i>). Доказать, что если  <i>S</i>(<i>a</i>) = <i>S</i>(2<i>a</i>),  то число <i>a</i> делится на 9.

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.