Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 10 класса

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2<i>n</i>-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.