Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 8-10 класса - сложность 2-5 с решениями
8 класс, 1 тур
НазадДва отрезка натурального ряда из 1961 числа подписаны один под другим. Доказать, что каждый из них можно так переставить, что если сложить числа, стоящие одно под другим, получится снова отрезок натурального ряда.
Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.
См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78240">задачу 3 для 7 класса</a>.
Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,...,<i>x</i><sub>n</sub>) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>1</sub>+ ... +<i>a</i><sub>n</sub><i>x</i><sub>n</sub>, где(<i>a</i><sub>1</sub>...<i>a</i><sub>n</sub>) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?
Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i><sub>1</sub>,<i>M</i><sub>2</sub>,<i>M</i><sub>3</sub>— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>3</sub>равна 1/9 площади<i>ABC</i>.