Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 3-8 класса

На шахматной доске выбраны две клетки одинакового цвета.

Доказать, что ладья, начиная с первой, может обойти все клетки по разу, а на второй выбранной клетке побывать два раза.

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три точки из данных, то треугольник<i>ABC</i>— тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Дан остроугольный треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. Пусть точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— центры квадратов, построенных на сторонах<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀,<i>A</i>₀<i>B</i>₀. С треугольником<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁делаем то же самое. Получаем треуг...

Имеется трёхзначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span>, берём <span style="text-decoration: overline;"><i>cba</i></span> и вычтем из большего меньшее. Получим число  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>b</i>₁<i>c</i>₁</span>,  сделаем с ним то же самое и т.д.

Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай  <i>a</i>₁ = 0  допускается.

Доказать, что если <i>n</i> чётно, то числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>² можно таким образом расположить в квадратную таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.