Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 9 класса
7 класс, 1 тур
НазадДоказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.
<i>M</i>и<i>N</i>— точки пересечения двух окружностей с центрами<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>1</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>A</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>A</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>2</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>B</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>B</i><sub>2</sub>. Доказать, что прямые<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>и<i>MN...
В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех пяти курсов. Каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач. Каждые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало ровно по одной задаче?
3 равные окружности с центрами<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>пересекаются в данной точке.<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>— остальные точки пересечения. Доказать, что треугольники<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>и<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>равны.
Указать все денежные суммы, выраженные целым числом рублей, которые могут быть представлены как чётным, так и нечётным числом денежных билетов. (В обращении имелись билеты достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.)