Задачи и олимпиады по математике

Задача

3 равные окружности с центрамиO₁,O₂,O₃пересекаются в данной точке.A₁,A₂,A₃— остальные точки пересечения. Доказать, что треугольникиO₁O₂O₃иA₁A₂A₃равны.

Решение

ПустьK — общая точка всех трёх окружностей. Так как окружности по условию равны, тоKA₁есть перпендикуляр, проведённый через серединуM₁отрезкаO₂O₃; далееKA₂ — перпендикуляр, проведённый через середину М₂отрезкаO₁O₃, иKA₃ — перпендикуляр, проведённый через середину М₃отрезкаO₁O₂. ТочкиM₁,M₂иM₃являются также серединами отрезковKA₁,KA₂,KA₃. В треугольникахКA₂A₃иO₁O₂O₃отрезокM₂M₃является средней линией и, следовательно,

O₂O₃ = 2M₂M₃ = A₂A₃.

Аналогично,

O₁O₃	= 2M₁M₃ = A₁A₃,
O₁O₂	= 2M₁M₂ = A₁A₂.

Отсюда и следует требуемое равенство треугольников:

$\displaystyle \bigtriangleup$A₁A₂A₃ = $\displaystyle \bigtriangleup$O₁O₂O₃.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления