Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 2-5 с решениями

Дана невозрастающая последовательность чисел   ¹/_2<i>k</i> = <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i> ≥ ... > 0,  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i> + ... = 1.

Доказать, что найдутся <i>k</i> чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

В квадратную таблицу <i>N×N</i> записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем <i>N</i>², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.

Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что  <i>x^k + y^k = z^k</i>  при условии  <i>x < k,  y < k</i>.