Существует множество способов провести лучи так, чтобы добиться максимальной суммы углов. Например, такой. Еслиn= 2k, то половину лучей следует провести в одном направлении, а оставшуюся половину — в противоположном. Обозначим сумму попарных углов дляnлучей черезS(n), тогдаS(2k) =k^{2 .} 180^o. Если жеn= 2k+ 1, то следуетkлучей провести в одном направлении, а оставшиесяk+ 1 — в другом. ТогдаS(2k+ 1) =k(k+ 1) ^. 180^o.

Далее мы будем пользоваться тем, что если на плоскости точкиOпроведены два противоположно направленных лучаOA₁,OA₂, тогда$\angle$A₃OA₁+$\angle$A₃OA₂= 180^o, гдеOA₃ — любой другой луч, проведенный из этой же точки.

Докажем индукцией по количеству лучей, что такая сумма максимальна. Дляn= 1, 2 утверждение очевидно. Предположим, что оно верно для всехn$\le$m, тогда докажем его дляn=m+ 1.

Допустим, что существует расстановкаm+ 1 луча с большей суммой попарных углов между лучами. РассмотримOA — один из этих лучей, тогда прямая на которой лежит этот луч, делит все лучи на три группы: лежащие в одной и в другой полуплоскостях, а также лежащие на прямой. Допустим, что среди рассматриваемых лучей нет луча, дополняющего лучOAдо прямой. Тогда можно поворачивать лучOA, до тех пор, пока один из лучей не станет дополнять его до прямой. Причём такой поворот в сторону полуплоскости, в которой лучей не меньше, чем в другой, не уменьшает сумму попарных углов между всеми лучами. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что луч, дополняющий лучOAдо прямой, есть. Выбросив из рассмотрения два противоположно направленных луча, по предположению индукции получим, что сумма попарных углов между оставшимися лучами не может превышать(k- 1)^{2 .} 180^o, еслиm+ 1 = 2k, иk(k- 1) ^. 180^o, еслиm= 2k+ 1. А значит, сумма попарных углов между всеми лучами не превышает(k- 1)^{2 .} 180^o+ 2(k- 1) ^. 180^o+ 180^o=k^{2 .} 180^o, еслиm+ 1 = 2k, иk(k- 1) ^. 180^o+ (2k- 1) ^. 180^o+ 180^o=k(k+ 1) ^. 180^o, еслиm= 2k+ 1. Получили противоречие, тем самым доказав наше утверждение.

Ответ задачи отсутствует