Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.

Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.

Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.