Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 4-11 класса - сложность 2-4 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадДано <i>n</i> целых чисел <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, причём <i>a<sub>i</sub> ≤ a</i><sub><i>i</i>+1</sub> ≤ 2<i>a<sub>i</sub></i> (<i>i</i> = 1, 2,..., <i>n</i> – 1) и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k + 1</sup>.
Точка<i>G</i>— центр шара, вписанного в правильный тетраэдр<i>ABCD</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>G</i>с точкой<i>O</i>, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78127/problem_78127_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78127/problem_78127_img_3.gif&q...
Найти все действительные решения системы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78126/problem_78126_img_2.gif">
Дан четырёхугольник<i>ABCD</i>. Вписать в него прямоугольник с заданными направлениями сторон.