Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 4-8 класса - сложность 2 с решениями
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>A</i><sub>5</sub>, <i>A</i><sub>6</sub> делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из <i>A</i><sub>1</sub> провёден луч <i>l</i><sub>1</sub> в направлении <i>A</i><sub>2</sub>, из <i>A</i><sub>2</sub> – луч <i>l</i><sub>2</sub> в направлении <i>A</i><sub>3</sub>, ..., из <i>A</i><sub>6</sub> – луч <i>l</i><sub>6</sub> в направлении <i>A</i><s...
Точка<i>O</i>— центр круга, описанного около треугольника<i>ABC</i>. Точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>симметричны точке<i>O</i>относительно сторон треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что все высоты треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>проходят через точку<i>O</i>, а все высоты треугольника<i>ABC</i>проходят через центр круга, описанного около треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?
Найти все числа, на которые может быть сократима при целом значении <i>l</i> дробь <img width="35" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78063/problem_78063_img_2.gif">.
Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.
Найти все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.