Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Числа [<i>a</i>], [2<i>a</i>], ..., [<i>Na</i>] различны между собой, и числа$\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$${\frac{1}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$,$\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$${\frac{2}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ...,$\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$${\frac{M}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$тоже различны между собой. Найти все такие<i>a</i>.

Точка <i>O</i> лежит внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A_n</i> и соединена отрезками с вершинами. Стороны <i>n</i>-угольника нумеруются числами от 1 до <i>n</i>, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками <i>OA</i>₁, ..., <i>OA_n</i>.

  а) При  <i>n</i> = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников <i>A</i>₁<i>OA</i>₂, ..., <i>A_n</i><i>OA</i>₁ одинакова.

  б) Доказать, чт...