Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 10 класса - сложность 4-5 с решениями

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

Трёхчлен  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².