Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями

На окружности даны четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁лежат на одной окружности.

Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?

Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.

Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. На стороне<i>AB</i>взята точка<i>K</i>, на стороне<i>BC</i>&8212; точка<i>L</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>M</i>и на стороне<i>AD</i>— точка<i>N</i>, так, что<i>KB</i>=<i>BL</i>=<i>a</i>,<i>MD</i>=<i>DN</i>=<i>b</i>. Пусть<i>KL</i>$\nparallel$<i>MN</i>. Найти геометрическое место точек пересечения прямых<i>KL</i>и<i>MN</i>при изменении<i>a</i>и<i>b</i>.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)