Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 9-10 класса - сложность 2-5 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадДан треугольник<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>. На его сторонах<i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub>,<i>B</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub>,<i>C</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>0</sub>взяты точки<i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>соответственно. На сторонах<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>C</i>...
Доказать, что если <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то <i>p – kq</i> есть делитель числа <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.
Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.