Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями
9 класс, 1 тур
НазадДано 100 чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>100</sub>, удовлетворяющих условиям:
<i>a</i><sub>1</sub> – 3<i>a</i><sub>2</sub> + 2<i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>2</sub> – 3<i>a</i><sub>3</sub> + 2<i>a</i><sub>4</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>3</sub> – 3<i>a</i><sub>4</sub> + 2<i>a</i><sub>5</sub> ≥ 0,
...,
<i>a</i><sub>99</sub> – 3<i>a</i><sub>100</sub> +...
Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.
Доказать, что если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif"> то <i>x</i><sup>4</sup> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i>³ + <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i>² + <i>a</i><sub>3</sub><i>x + a</i><sub>4</sub> делится на (<i>x – x</i><sub>0</sub>)².