Олимпиадные задачи из источника «1953 год» для 1-8 класса - сложность 1-2 с решениями
Решить систему
<i>x</i><sub>1</sub> + 2<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 2<i>x</i><sub>5</sub> = 1,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 4<i>x</i><sub>5</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 5<i>x</i><sub>3</sub> + 6<i>x</i><sub>4</sub> + 6<i>x</i><sub>5</sub> = 3,
<i>x</i><sub>1<...
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.
<i>A</i> – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная <i>AA'BB'CC'DD'EE'</i> является его внешним контуром. Прямые <i>AB</i> и <i>DE</i> продолжены до пересечения в точке <i>F</i>. Докажите, что многоугольник <i>ABB'CC'DED'</i> равновелик четырёхугольнику <i>AD'EF</i>.
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число <i>n</i>² + 8<i>n</i> + 15 не делится на <i>n</i> + 4.
Разделить отрезок пополам с помощью угольника. (С помощью угольника можно проводить прямые и восстанавливать перпендикуляры, опускать перпендикуляры нельзя.)
Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.
Каково минимальное целое число вида 111...11, делящееся на 333...33 (100 троек)?