Олимпиадные задачи из источника «1949 год» - сложность 4 с решениями

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Докажите, что числа вида 2ⁿпри различных целых положительных<i>n</i>могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс'', а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус''. Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

(<i>Эту задачу не решил никто из участников олимпиады</i>.)

Даны два треугольника:$\Delta$<i>ABC</i>и$\Delta$<i>DEF</i>и точка<i>O</i>. Берется любая точка<i>X</i>в$\Delta$<i>ABC</i>и любая точка<i>Y</i>в$\Delta$<i>DEF</i>; треугольник<i>OXY</i>достаивается до параллелограмма<i>OXZY</i>.

а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник.

б) Сколько сторон он может иметь?

в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.

Найти действительные корни уравнения:<div align="CENTER"> <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - <i>a</i> + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$    $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$0 < <i>a</i> < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$. </div>

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.