Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 1 тур» для 4-9 класса - сложность 2-4 с решениями
7,8 класс, 1 тур
НазадДоказать, что в произведении (1 – <i>x + x</i>² – <i>x</i>³ + ... – <i>x</i><sup>99</sup> + <i>x</i><sup>100</sup>)(1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i>³ + ... + <i>x</i><sup>99</sup> + <i>x</i><sup>100</sup>) после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих <i>x</i> в нечётной степени.
Решить систему уравнений:
<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> = 6,
<i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> = 9,
<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> = 3,
<i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> = –3,
<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> + <i>x</i><sub>7</sub> = –9,
<i>x</i...
Найти четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.
На прямой даны 3 точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. На отрезке<i>AB</i>построен равносторонний треугольник<i>ABC</i><sub>1</sub>, на отрезке<i>BC</i>построен равносторонний треугольник<i>BCA</i><sub>1</sub>. Точка<i>M</i>— середина отрезка<i>AA</i><sub>1</sub>, точка<i>N</i>— середина отрезка<i>CC</i><sub>1</sub>. Доказать, что треугольник<i>BMN</i>— равносторонний. (Точка<i>B</i>лежит между точками<i>A</i>и<i>C</i>; точки<i>A</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>расположены по одну сторону от прямой<i>AB</i>....