Олимпиадные задачи из источника «2 тур» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Даны две точки<i>A</i>и<i>B</i>и окружность. Найти на окружности точку<i>X</i>так, чтобы прямые<i>AX</i>и<i>BX</i>отсекли на окружности хорду<i>CD</i>, параллельную данной прямой<i>MN</i>.

Даны два многочлена от переменной <i>x</i> с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной <i>x</i> с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.

Разложить на целые рациональные множители выражение  <i>a</i>¹⁰ + <i>a</i>⁵ + 1.