Олимпиадные задачи из источника «2015 год» - сложность 2-5 с решениями
Петя записал 25 чисел в клетки квадрата 5×5. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех её соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке?
Имеется набор из двух карточек: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_3.gif">. За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение – целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке. (Например, имея карточки <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_4.gif">, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_5.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_6.gif"...
Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.
В аквариуме живет три вида рыбок: золотые, серебряные и красные. Если кот съест всех золотых рыбок, то рыбок станет на 1 меньше, чем ⅔ исходного числа. Если кот съест всех красных рыбок, то рыбок станет на 4 больше, чем ⅔ исходного числа. Каких рыбок – золотых или серебряных – больше и на сколько?
Во дворе, где проходят четыре пересекающиеся тропинки, растёт одна яблоня (см. план). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65106/problem_65106_img_2.gif"></div>Посадите ещё три яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.
Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65105/problem_65105_img_2.gif"></div>
Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?
Разрежьте нарисованный шестиугольник на четыре одинаковые фигуры. Резать можно только по линиям сетки.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65103/problem_65103_img_2.gif"></div>
Математик с пятью детьми зашёл в пиццерию.
<i>Маша</i>: Мне с помидорами и чтоб без колбасы.
<i>Ваня</i>: А мне с грибами.
<i>Даша</i>: Я буду без помидоров.
<i>Никита</i>: А я с помидорами. Но без грибов!
<i>Игорь</i>: И я без грибов. Зато с колбасой!
<i>Папа</i>: Да, с такими привередами одной пиццей явно не обойдёшься...
Сможет ли математик заказать две пиццы и угостить каждого рeбенка такой, какую тот просил, или все же придется три пиццы заказывать?
а) Впишите в каждый кружочек по цифре, отличной от нуля, так, чтобы сумма цифр в двух верхних кружочках была в 7 раз меньше суммы остальных цифр, а сумма цифр в двух левых кружочках – в 5 раз меньше суммы остальных цифр.
б) Докажите, что задача имеет единственное решение.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65101/problem_65101_img_2.gif"></div>
Через двор проходят четыре пересекающиеся тропинки (см. план). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65100/problem_65100_img_2.gif"></div>Посадите четыре яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.