Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 11 класса - сложность 4 с решениями
Белорусские республиканские математические олимпиады
НазадНа плоскости дан квадрат со стороной<i> a </i>. Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше<i> a </i>.
В плоскости расположена прямая<i> y </i>и прямоугольный треугольник<i> ABC </i>с катетами<i> AC=</i>3<i>; BC=</i>4. Вершина<i> C </i>находится на расстоянии 10 от прямой<i> y </i>. Угол между<i> y </i>и направлением катета<i> AC </i>равен<i> α </i>. Надо определить угол<i> α </i>, при котором поверхность, полученная вращением треугольника<i> ABC </i>вокруг прямой<i> y </i>, будет наименьшей.
Ребро правильного тетраэдра равно<i> a </i>. Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние<i> b </i>, причём0<i><b<a<img src="/storage/problem-media/109148/problem_109148_img_2.gif">/</i>4.
На диагонали<i> AC </i>нижней грани единичного куба<i> ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>отложен отрезок<i> AE </i>длины<i> l </i>. На диагонали<i> B<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>его верхней грани отложен отрезок<i> B<sub>1</sub>F </i>длиной<i> ml </i>. При каком<i> l </i>(и фиксированном<i> m>0 </i>) длина отрезка<i> EF </i>будет наименьшей?