Олимпиадные задачи из источника «1997/98» для 8-9 класса - сложность 1-5 с решениями

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

Пусть <i>m</i> и <i>n</i> – целые числа. Докажите, что  <i>mn</i>(<i>m + n</i>)  – чётное число.

Несколько Совершенно Секретных Объектов соединены подземной железной дорогой таким образом, что каждый Объект напрямую соединён не более чем с тремя другими и от каждого Объекта можно добраться под землей до любого другого, сделав не более одной пересадки. Каково максимальное число Совершенно Секретных Объектов?

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.

  а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.

  б) Сколько дорог в Заитильщине?

Выписать в ряд цифры от 1 до 9 (каждую по разу) так, чтобы каждые две подряд идущие цифры давали бы двузначное число, делящееся на 7 или на 13.

Гуляя по Кенигсбергу, Леонард Эйлер захотел обойти город, пройдя по каждому мосту ровно один раз (см. рис.). Как ему это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/32993/problem_32993_img_2.gif"></div>

Можно ли расположить на плоскости

  а) 4 точки так, чтобы каждая из них была соединена отрезками с тремя другими (без пересечений)?

  б) 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка?

Можно ли семь телефонов соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с тремя?

Докажите, что  1 + 2⁷⁷ + 3⁷⁷ + ... + 1996⁷⁷  делится на 1997.

Делится ли  222⁵⁵⁵ + 555²²²  на 7?

Докажите, что уравнение  3<i>x</i>² + 2 = <i>y</i>²  нельзя решить в целых числах.

Найдите самое маленькое <i>k</i>, при котором <i>k</i>! делится на 2040.

Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 80 тыров. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить

  a) шоколадку за 57 тыров;

  б) булочку за 15 тыров?

а) Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении, чётно.

б) Верно ли это для замкнутых ломаных, нарисованных на поверхности оконной рамы?

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны

  а) клеточки b3 и e7;

  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?