Олимпиадные задачи из источника «1997/98» для 7-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

В Заитильщине 57 деревень, между некоторыми из которых проложены дороги. Известно, что из каждой деревни можно попасть в любую другую, притом по единственному маршруту.

  а) Докажите, что найдётся деревня, из которой выходит лишь одна дорога.

  б) Сколько дорог в Заитильщине?

Делится ли  222⁵⁵⁵ + 555²²²  на 7?

а) Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении, чётно.

б) Верно ли это для замкнутых ломаных, нарисованных на поверхности оконной рамы?

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны

  а) клеточки b3 и e7;

  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?